【題目】已知函數(shù)(b為常數(shù))

(1)若b=1,求函數(shù)H(x)=f(x)﹣g(x)圖象在x=1處的切線方程;

(2)若b2,對(duì)任意x1,x2∈[1,2],且x1x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求實(shí)數(shù)b的值.

【答案】(1).(2)

【解析】

1)將b=1代入,求導(dǎo)后得到斜率,求出切點(diǎn),利用點(diǎn)斜式得到切線方程;

2)分析可知,函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),進(jìn)而問(wèn)題等價(jià)于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),進(jìn)一步等價(jià)于在區(qū)間[1,2]上恒成立,由此即可得解.

1)若b=1,函數(shù),

,故又切點(diǎn)為,

故所求切線方程為2x2y1=0;

2)不妨設(shè)x1>x2

∵函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),

f(x1)>f(x2)

∵函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸為x=b,且b>2,

∴當(dāng)b≥2時(shí),函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),

g(x1)<g(x2)

|f(x1)f(x2)|>|g(x1)g(x2)|等價(jià)于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),

等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),

等價(jià)于在區(qū)間[12]上恒成立,

等價(jià)于在區(qū)間[1,2]上恒成立,

b≤2,

b≥2,故b=2.

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