Question

（本小題滿分12分）
圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.已知凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為,設(shè)AB=2x,BC=y.

（1）寫出y關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；
（2）求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.

Answer 1

（1）（）.（2）。

試題分析：（1）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為.
所以 ，得     ------------4分
依題意知：      得
所以，（）.         -----------6分
（2）依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為T，橫截面的面積為S，則有
                    ----------------------8分

.     ----------10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004020869723.png" style="vertical-align:middle;" />,  所以，當(dāng)時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.
答: 當(dāng)時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.                 --------------12分
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)學(xué)建模型和解模型的能力，主要涉及了平面圖形的周長，面積及在實(shí)際問題中模型的意義．是應(yīng)用題中的常見題型。