Question

某賓館有標(biāo)準(zhǔn)的床位100張，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)該賓館的床價(jià)（即每張床每天的租金）不超過10元時(shí)，床位可以全部租出；當(dāng)床價(jià)高于10元時(shí)，每提高1元，將有3張床位空閑，為了獲得較好的效益，該賓館給床位定一個(gè)合適價(jià)格，條件是：

①要方便結(jié)賬，床價(jià)應(yīng)為1元的正整數(shù)倍.

②該賓館每日的費(fèi)用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高出的越多越好，若用x表示床價(jià)，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入（即除去每日的費(fèi)用支出后的收入）.

(1)把y表示成x的函數(shù)，并求出其定義域.

(2)試確定該賓館將床價(jià)定為多少元時(shí)，既符合上面兩個(gè)條件，又能使凈收入最多？

Answer 1

思路分析:從整體來看，這是賓館床位出租問題，探求一天內(nèi)出租床位凈收入函數(shù)和凈收入的最值問題；從局部來看，涉及床位價(jià)、床位數(shù)、出租毛收入、費(fèi)用支出和凈收入等關(guān)鍵詞和量的關(guān)系，特別要注意兩個(gè)限制條件.

    建立數(shù)學(xué)模型：

    列表分析如下：

	床位價(jià)	床位數(shù)	出租毛收入	出租凈收入
低于標(biāo)準(zhǔn)價(jià)10元	x	100	100x	100x-575
高于標(biāo)準(zhǔn)價(jià)10元	x	100-3(x-10)	x［100-3(x-10)］	x［100-3(x-10)］-575

解:(1)由已知，有

    y=

    ∵y＞0,x∈N,由100x-575＞0且x≤10,得6≤x≤10,x∈N;

    由［100-(x-10)×3］x-575＞0且x＞10,得10＜x≤38,x∈N,

    ∴所求函數(shù)為

    y=

    (2)顯然,當(dāng)x=10時(shí),100x-575取最大值425元;

    當(dāng)x＞10時(shí),y=－3x²＋130x－575,僅當(dāng)x=時(shí),y取最大值.

    ∵x∈N,∴x=22時(shí),y取最大值,此時(shí)y_max=833＞425元.

    當(dāng)床位定價(jià)為22元時(shí)，凈收入最多.

    檢驗(yàn):上述求解中已注意到題中兩個(gè)限制條件，故所求結(jié)果符合題意.