Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為常數(shù)，）.

（Ⅰ）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（Ⅲ）若對(duì)任意的（1，2），總存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）滿足條件；（Ⅱ）在上是增函數(shù)；（Ⅲ）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。以及不等是的求解，和函數(shù)單調(diào)性的判定的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414575466591638/SYS201208241458346448475435_DA.files/image006.png">

由已知，得即， 得到a的值，

（2）當(dāng)時(shí)， 

當(dāng)時(shí)，.又，故在上是增函數(shù)

（3）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的，不等式恒成立.

利用構(gòu)造函數(shù)得到結(jié)論。

解：……………1分

（Ⅰ）由已知，得即，……3分

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足條件.……………………………………4分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，…………5分

當(dāng)時(shí)，.又，故在上是增函數(shù)

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的，不等式恒成立.

記

則…………………………9分

當(dāng)時(shí)，有，且在區(qū)間（1，2）上遞減，且，則不可能使恒成立，故必有…………11分

當(dāng)，且

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上有，與恒成立矛盾，故，這時(shí)，即在（1，2）上遞增，恒有滿足題設(shè)要求.

，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.……………………14分