Question

根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線 16x²-9y²=144的左頂點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)P（2，-4）．

Answer 1

分析：（1）將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到它的左頂點(diǎn)為（-3，0），結(jié)合題意得到拋物線的焦點(diǎn)為F（-3，0），由此即可算出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)點(diǎn)P（2，-4）在第四象限，得到拋物線開口向右或開口向下，由此設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程并代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，解出焦參數(shù)p的值，即可得到所求拋物線的方程．

解答：解：（1）∵雙曲線16x²-9y²=144化成標(biāo)準(zhǔn)方程得

x2

9

-

y2

16

=144，
∴a²=9且b²=16，可得a=3且b=4，雙曲線的左頂點(diǎn)為（-3，0）．
又∵拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，∴拋物線的開口向左，
設(shè)拋物線的方程為y²=-2px（p＞0），可得-

p

2

=-3，解得p=6．
因此，所求拋物線的方程為y²=-12x；
（2）根據(jù)點(diǎn)P（2，-4）在第四象限，可得拋物線開口向右或開口向下．
①當(dāng)拋物線的開口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
將P的坐標(biāo)代入，得（-4）²=2p×2，解之得p=4，
∴此時(shí)拋物線的方程為y²=8x；
②當(dāng)拋物線的開口向右時(shí)，用類似于①的方法可得拋物線的方程為x²=-y．
綜上所述，所求拋物線的方程為y²=8x或x²=-y．

點(diǎn)評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線的方程．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．