Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，橢圓上的點P與兩個焦點F₁，F₂構成的三角形的最大面積為1．
（1）求橢圓的方程．
（2）過圓M：x²+y²=r²（r＞0）外一點P（x₀，y₀）作圓M的兩條切線PA，PB（且點分別為A，B），則直線AB的方程為x₀x+y₀y=r²，類比此結論，過點Q（3，1）作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點分別為D、E），寫出直線DE的方程，并予以證明．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設切點為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則切線方程為x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，由已知條件推導出D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直線2x+2y-2=0上．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，
橢圓上的點P與兩個焦點F₁，F₂構成的三角形的最大面積為1，
∴

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）解：直線DE的方程為3x+2y-2=0．
證明：設切點為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則切線方程為x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，
∵兩條切線都過點Q（3，1），
∴3x₁+2y₁=2，3x₂+2y₂=2，
∴D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直線3x+2y=2上，
∴直線DE的方程為3x+2y-2=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓的切線方程的合理運用．