(本小題滿分12分)
已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,,,分別是,的中點.
(1)證明:;
(2)證明:平面
(3)求二面角的余弦值.
   解法一:


(Ⅰ)證明:因為平面,
所以在平面內(nèi)的射影,… 2 分
由條件可知,
所以. ………………… 4 分
(Ⅱ)證明:設(shè) 的中點為
連接,
因為分別是,的中點,
所以
=,
所以
所以四邊形是平行四邊形.
所以.    …………………6 分
因為平面,平面,
所以平面. …………… 8 分
(Ⅲ)如圖,設(shè)的中點為,連接
所以
因為底面,
所以底面
在平面內(nèi),過點,垂足為
連接,則
所以是二面角的平面角.         ………………… 10 分
因為==2,
,得=
所以==
所以==
二面角的余弦值是.              ………………… 12 分
解法二:
依條件可知,,兩兩垂直.
如圖,以點為原點建立空間直角坐標系
根據(jù)條件容易求出如下各點坐標:
,,
,,

(Ⅰ)證明:因為,
,
所以.             ………………… 2
所以
.                                 ………………… 4 分
(Ⅱ)證明:因為,是平面的一個法向量,
,所以.          ………6 分
平面,
所以平面.                         ………………… 8 分
(Ⅲ)設(shè)是平面的法向量,
因為,
解得平面的一個法向量
由已知,平面的一個法向量為.    ………………… 10 分
設(shè)二面角的大小為, 則==
二面角的余弦值是.                  ………………… 12 分
練習冊系列答案
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(Ⅱ)求所成角的余弦值;
(Ⅲ)求面與面所成二面角的余弦值.

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(本小題滿分14分)
如圖,四棱錐中,底面,,,的中點.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)求二面角的平面角的正弦值.

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(2)求二面角的余弦值;
(3)在線段上是否存在一點,使?證明你的結(jié)論.

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