設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)和(1,4),且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,不等式f(x)≥4x恒成立.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)g(x)=kx+1,若F(x)=log2[g(x)-f(x)]在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)先利用圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)和(1,4),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,再結(jié)合不等式f(x)≥4x對(duì)于任意的x∈R均成立,移項(xiàng)后變成二次函數(shù)的一般形式,只需△≤0即可求得a,b,c的值,最后寫(xiě)出函數(shù)f(x)的表達(dá)式.
(2)由于F(x)=log2(g(x)-f(x))=log2(-x2+(k-2)x),設(shè)h(x)=-x2+(k-2)x,由二次函數(shù)的性質(zhì),比較對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系即可.
解答:解:(1)f(0)=1⇒c=1,f(1)=4⇒a+b+c=4
| ∴f(x)=ax2+(3-a)x+1 | f(x)≥4x即ax2-(a+1)x+1≥0恒成立得 | 由⇒a=1 | ∴f(x)=x2+2x+1 |
| |
(2)F(x)=log
2(g(x)-f(x))=log
2(-x
2+(k-2)x)
由F(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)得h(x)=-x
2+(k-2)x在[1,2]上為增函數(shù)且恒正
故
⇒k≥6,
實(shí)數(shù)k的取值范圍k≥6.
點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)在R中的恒成立問(wèn)題,可以通過(guò)判別式法予以解決,二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸的位置共同決定,在沒(méi)說(shuō)明開(kāi)口方向時(shí)一定要注意比較對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系.