已知橢圓,拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表中:











(1)求,的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與的準(zhǔn)線交于,試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1) ;(2)存在定點(diǎn).

解析試題分析:(1)設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,由點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出基本量即得;(2)巧設(shè)直線的方程為,由直線與橢圓相切,求得,利用直線的準(zhǔn)線相交求點(diǎn)的坐標(biāo),寫出以為直徑的圓的方程,利用恒成立求解.
試題解析:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,,∵代入拋物線方程中得到的解相同,∴,     (3分)
在橢圓上,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得,,則,
的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為,.       (6分)
(2)設(shè)直線的方程為,將其代入消去并化簡(jiǎn)整理得:
,又直線與橢圓相切,
,∴,    (8分)
設(shè)切點(diǎn),則,,
又直線的準(zhǔn)線的交點(diǎn),
∴以為直徑的圓的方程為,     (10分)
化簡(jiǎn)整理得恒成立,
,,即存在定點(diǎn)符合題意.      (13分)
考點(diǎn): 橢圓、拋物線的性質(zhì),圓的性質(zhì),直線與圓橢圓的關(guān)系,定點(diǎn)問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過(guò)F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若ΔABF2為正三角形,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若橢圓的離心率滿足,0為坐標(biāo)原點(diǎn),求證為鈍角.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為
分別過(guò)的兩條弦,相交于點(diǎn)(異于兩點(diǎn)),且
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線,的斜率之和為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2,一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(II)若直線y =kx交橢圓C于A,B兩點(diǎn),在直線l:x+y-3=0上存在點(diǎn)P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點(diǎn)為,左、右頂點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過(guò)三點(diǎn)作圓  
(Ⅰ)若線段是圓的直徑,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若圓的圓心在直線上,求橢圓的方程;
(Ⅲ)若直線交(Ⅱ)中橢圓于,交軸于,求的最大值  

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù),它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)直線(其中為整數(shù)).
(1)試求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),與雙曲線交于不同兩點(diǎn),問(wèn)是否存在直線,使得向量,若存在,指出這樣的直線有多少條?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,,,其中.設(shè)直線的交點(diǎn)為,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程(以為參數(shù))及普通方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知的頂點(diǎn)A在射線上,、兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,0為坐標(biāo)原點(diǎn),且線段AB上有一點(diǎn)M滿足當(dāng)點(diǎn)A在上移動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為W.
(Ⅰ)求軌跡W的方程;
(Ⅱ)設(shè)是否存在過(guò)的直線與W相交于P,Q兩點(diǎn),使得若存在,
求出直線;若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案