Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點處的切線為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿足．
（1）求；
（2）設(shè)，，求函數(shù)在上的最大值；
（3）設(shè)，若對于一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，由，知其對稱軸，曲線的切線問題，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切點處切線的斜率)列出方程組求解；（2），畫出函數(shù)圖象考察其單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)區(qū)間對的值分類討論求出其最大值；（3）對不等式進(jìn)行化簡，得恒成立，即，且，對任意的成立，然后又轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，要注意，從而有.
試題解析：（1），∵，
∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，             2分
∵曲線在與軸交點處的切線為，∴切點為，
∴，解得，則                5分
（2）∵，
∴，其圖象如圖                      7分
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，

綜上                                  10分
（3），，
當(dāng)時，，所以不等式等價于恒成立，
解得，且，                                            13分
由，得，，所以，
又，∵，∴所求的實數(shù)的的取值范圍是       16分