如圖，在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，設(shè)M是底面三角形ABC內(nèi)一動點，定義：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別表示三棱錐M-PAB，M-PBC，M-PAC的體積，若f（M）=（
1
2
，2x，y），且
1
x
+
a
y
≥8恒成立，則正實數(shù)a的最小值是（　�。�
A、2+
2
B、2-
2
C、3-2
2
D、6-2
2
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析：在三棱錐P-ABC中，可得三棱錐的體積VP-ABC=
1
3
S△PAB•PC=
1
3
×
1
2
×3×2×1=1，得到4x+2y=1．利用基本不等式可得
1
x
+
a
y
=（4x+2y）（
1
x
+
a
y
）≥4+2a+4
2a
，當且僅當y=
2a
x取等號．又
1
x
+
a
y
≥8恒成立，可得4+2a+4
2a
≥8，即可解得正實數(shù)a的最小值．
解答：解：在三棱錐P-ABC中PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．
∴VP-ABC=
1
3
S△PAB•PC=
1
3
×
1
2
×3×2×1=1
∴
1
2
+2x+y=1，化為4x+2y=1．
∵a＞0，x＞0，y＞0．
∴
1
x
+
a
y
=（4x+2y）（
1
x
+
a
y
）=4+2a+
2y
x
+
4ax
y
≥4+2a+4
2a
，當且僅當y=
2a
x取等號．
又
1
x
+
a
y
≥8恒成立，∴4+2a+4
2a
≥8，解得a≥3-2
2
．
故a的最小值是3-2
2
．
故選：C．
點評：本題考查了三棱錐的體積、基本不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=|tanx|的增區(qū)間為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方體棱長為a，則該正方體的全面積為（　�。�
A、6a
B、6a2
C、4a2
D、4a

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點P是正方形BCC1B1的中心，則三棱錐P-AB1D1的體積等于（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
1
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的頂點都在半徑為R的球面上，底面ABCD是正方形，且底面ABCD經(jīng)過球心O，E是AB的中點，PE⊥底面ABCD，則該四棱錐P-ABCD的體積等于（　�。�
A、
6
3
R3
B、
2
3
R3
C、
2
2
3
R3
D、
2
3
R3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等邊△ABC中，向量
AB
，
AC
的夾角為（　�。�
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
2
D、
2π
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

P是圓C：（x-1）2+（y-
3
）2=1上的一個動點，A（
3
，1），則
OP
•
OA
的最小值為（　�。�
A、2
3
-2
B、2-2
3
C、2
2
-2
D、2-2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC的底面是正三角形，各條側(cè)棱均相等，∠APB＜60°．設(shè)動點D、E分別在線段PB、PC上，點D由P運動到B，點E由P運動到C，且滿足DE∥BC，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A、當點D滿足AD⊥PB時，△ADE的周長最小
B、當點D為PB的中點時，△ADE的周長最小
C、當點D滿足
PD
=
1
3
PB
時，△ADE的周長最小
D、在點D由P運動到B的過程中，△ADE的周長先減小后增大

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC中，互相垂直的平面對數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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