Question

數(shù)列{a_n}中，對任意自然數(shù)n，a1+a2+a3+…an=2n-1，則a12+a22+a32+…an2等于（　�。�

• A．（2ⁿ-1）²
• B．

  1

  3

  (2n-1)2
• C．4ⁿ-1
• D．

  1

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：由a1+a2+a3+…an=2n-1，①得n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1②，兩式相減可求得a_n，利用等比數(shù)列的定義可判斷{a_n}為等比數(shù)列，進而可知{an2}也是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n和項和公式可求得其前n項和．

解答：解：由a1+a2+a3+…an=2n-1，①得
n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1②，
①-②，得an=2n-1（n≥2），
又n=1時，a₁=2¹-1=1，適合上式，
∴an=2n-1，
又

an+1

an

=

2n

2n-1

=2，
∴{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則{an2}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，
∴a12+a22+a32+…an2=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故選D．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義、前n項和公式，考查學生的運算能力，屬中檔題，熟記相關(guān)公式是解決問題的關(guān)鍵．