Question

已知函數(shù)，則該函數(shù)是（ ）
A．非奇非偶函數(shù)，且單調(diào)遞增
B．偶函數(shù)，且單調(diào)遞減
C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增
D．奇函數(shù)，且單調(diào)遞減

Answer 1

【答案】分析：由題意，根據(jù)題設(shè)條件及選項(xiàng)可判斷出，可先由定義判斷函數(shù)的奇偶性，再由函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法判斷出函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，由此可以判斷出正確選項(xiàng)
解答：解：此函數(shù)的定義域是R
當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x）+f（-x）=1-2^-x+2^-x-1=0
當(dāng)x＜0時(shí)，有f（x）+f（-x）=1-2^x+2^x-1=0
由上證知，此函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，
又x≥0時(shí)，函數(shù)1-2^-x是一個(gè)增函數(shù)，最小值是0；x≤0時(shí)，函數(shù)2^x-1是一個(gè)增函數(shù)，最大值為0，
所以函數(shù)函數(shù)在定義域上是增函數(shù)
綜上，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷，熟練掌握函數(shù)奇偶性判斷方法與函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解題的關(guān)鍵．