Question

如圖已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=PA=PD=2，∠ABD=60°，E是AD的中點，點Q是PC的中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BPE；
（Ⅱ）若二面P-AD-B的大小為120°，試求BQ與平ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得BD=AD=2，AD∥BC，從而PE⊥AD，BE⊥AD，由此能證明BC⊥平面BPE．
（Ⅱ）以E為原點，EA為x軸，EB為y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BQ與平ABCD所成角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=PA=PD=2，∠ABD=60°，
∴BD=AD=2，AD∥BC，
∵E是AD的中點，∴PE⊥AD，BE⊥AD，
又PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，
∴BC⊥平面BPE．
（Ⅱ）解：∵PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB是二面P-AD-B的平面角，
∵二面P-AD-B的大小為120°，∴∠PEB=120°，
以E為原點，EA為x軸，EB為y軸，建立空間直角坐標系，
B（0，

3

，0），P（0，-1，

3

），
C（-2，

3

，0），Q（-1，

3 -1

2

，

3

2

），

BQ

=（-1，-

3 +1

2

，

3

2

），
平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)BQ與平ABCD所成角為θ，
sinθ=|cos＜

BQ

，

n

＞|=|

BQ • n

| BQ |•| n |

|=|

3 2

11+2 3 4

|=

3

11+2 3

，
cosθ=

1-( 3 11+2 3 )2

=

130+44 3

11+2 3

∴BQ與平ABCD所成角的正切值tanθ=

3

130+44 3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．