Question

（12分）已知拋物線：過點(diǎn).（1）求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）是否存在平行于（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線，使得直線與拋物線有公共點(diǎn)，且直線與的
距離等于？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）. （2）符合題意的直線存在，其方程為.

試題分析：（1）將點(diǎn)（1，-2）代入拋物線方程可求出p值，從而得到拋物線的方程，進(jìn)而得到其準(zhǔn)線方程.
(2) 假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為,由于直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以它與拋物線方程聯(lián)立消去x后得到關(guān)于y的一元二次方程的判斷式,從而解得.
然后再利用平行線間的距離公式得到t的方程求出t值，看是否滿足t的范圍，從而確定是否存在這樣的直線.
（1）將代入，得，故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
其準(zhǔn)線方程為.  ………  4分
（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為.由，得.
因?yàn)橹本�與拋物線有公共點(diǎn)，所以，解得.另一方面，由直線與的距
可得，解得.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000413245493.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以符合題意的直線存在，其方程為
.…12分
點(diǎn)評：直線與拋物線的位置關(guān)系的判定可由它們的方程聯(lián)立消去一個(gè)變量后得到另一個(gè)變量的二次方程，再通過判別式進(jìn)行判斷即可.但要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的問題.