Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，S₄，S₂，S₃成等差數(shù)列，且a₂＋a₃＋a₄＝－18.
(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；
(2)是否存在正整數(shù)n，使得S_n≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1) a_n＝3×(－2)^n－1  (2) 存在，{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}，理由見解析

解：(1)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則a₁≠0，q≠0.由題意得
即
解得
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n＝3×(－2)^n－1.
(2)由(1)有S_n＝＝1－(－2)ⁿ.
若存在n，使得S_n≥2 013，則1－(－2)ⁿ≥2 013，即(－2)ⁿ≤－2 012.
當n為偶數(shù)時，(－2)ⁿ>0，上式不成立；
當n為奇數(shù)時，(－2)ⁿ＝－2ⁿ≤－2 012，
即2ⁿ≥2 012，則n≥11.
綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．