Question

已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，.

（1）求數(shù)列與的通項公式；

（2）設(shè)第個正方形的邊長為，求前個正方形的面積之和.

（注：表示與的最小值.）

 

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式分別求出數(shù)列與的通項公式；（2）先利用作差法確定與的大小，在比較兩者的大小是，一是利用數(shù)學(xué)歸納法，方法二是利用二項式定理，確定數(shù)列的通項公式（用分段數(shù)列的形式來進行表示，然后對的取值進行分類討論，進而求出.

試題解析：（1）由于數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，

又因為數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此；

2）因為，，，，，，

，，，，，，

易知當(dāng)時，，

下面證明當(dāng)時，不等式成立.

方法1：（i）當(dāng)時，，不等式顯然成立，

（ii）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，

則有，

這說明當(dāng)時，不等式也成立，

綜合（i）（ii）可知，不等式對的所有整數(shù)都成立.

所以當(dāng)時，；

方法2：因為當(dāng)時，

，

所以當(dāng)時，，所以，

則，

當(dāng)時，

，

當(dāng)時，

.

綜上可知，.

考點：1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式；2.利用作差啊比較大��；3.數(shù)學(xué)歸納法；4二項式定理；5.數(shù)列求和