【題目】已知定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2)=0,且在(﹣∞,0)上是增函數(shù);又定義行列式 ; 函數(shù) (其中 ).
(1)若函數(shù)g(θ)的最大值為4,求m的值.
(2)若記集合M={m|恒有g(shù)(θ)>0},N={m|恒有f[g(θ)]<0},求M∩N.

【答案】
(1)解:f(x)在(﹣∞,0)上是增函數(shù),又f(x)是奇函數(shù),

∴f(x)在(0,+∞)也是增函數(shù),

g(θ)=sin2θ﹣m(3﹣cosθ)=﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1=﹣ ,

∵θ∈[0, ],∴cosθ∈[0,1],

g(θ)的最大值只可能在cosθ=0( ),cosθ=1( ), 處取得,

若cosθ=0,g(θ)=4,則有1﹣3m=4,m=﹣1,此時 ,符合;

若cosθ=1,g(θ)=4,則有﹣2m=4,m=﹣2,此時 ,不符合;

,g(θ)=4,則有 ,m=6+4 或m=6﹣4 ,此時 或3-2 ,不符合;

綜上,m=﹣1


(2)解:∵f(x)是定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),且滿足f(2)=0,∴f(﹣2)=0,

又f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上均是增函數(shù),

由f[g(θ)]<0,得g(θ)<﹣2,或2>g(θ)>0,

又M={m|恒有g(shù)(θ)>0},N={m|恒有f[g(θ)]<0}={m|恒有g(shù)(θ)<﹣2,或2>g(θ)>0},

∴M∩N={m|恒有0<g(θ)<2},即不等式0<﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1<2在θ∈[0, ]恒成立,

當m> =

=﹣(3﹣cosθ)﹣( )+6=﹣[(3﹣cosθ)+( )]+6,

∵θ∈[0, ],∴cosθ∈[0,1],3﹣cosθ∈[2,3],

∴7≥(3﹣cosθ)+( ,﹣[(3﹣cosθ)+( )]+6∈[﹣1,﹣ ],

此時,m>﹣ ;

當m<

=﹣(3﹣cosθ)﹣( )+6

=﹣[(3﹣cosθ)+( )]+6,

∴6≥(3﹣cosθ)+( ,﹣[(3﹣cosθ)+( )]+6∈[0,6﹣4 ],

此時,m<0;

綜上,m∈(﹣ ,0)


【解析】(1)由已知可判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,由定義表示出g(θ),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可表示出其最大值,令其為4可求m值;(2)由f[g(θ)]<0,得g(θ)<﹣2,或2>g(θ)>0,則M={m|恒有g(shù)(θ)>0},N={m|恒有f[g(θ)]<0}={m|恒有g(shù)(θ)<﹣2,或2>g(θ)>0},從而M∩N={m|恒有0<g(θ)<2},轉(zhuǎn)化為不等式0<﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1<2在θ∈[0, ]恒成立,分離出參數(shù)m后,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可,變形后借助“對勾函數(shù)”的性質(zhì)可求得最值;
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識,掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

練習冊系列答案
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某學校社團為了解進園旅客的具體情形以及采集旅客對園區(qū)的建議,特別在2017年4月1日賞花旺季對進園游客進行取樣調(diào)查,從當日12000名游客中抽取100人進行統(tǒng)計分析,結(jié)果如下:(表一)

年齡

頻數(shù)

頻率

10

0.1

5

5

[10,20)

[20,30)

25

0.25

12

13

[30,40)

20

0.2

10

10

[40,50)

10

0.1

6

4

[50,60)

10

0.1

3

7

[60,70)

5

0.05

1

4

[70,80)

3

0.03

1

2

[80,90)

2

0.02

0

2

合計

100

1.00

45

55

(1)完成表格一中的空位①-④,并在答題卡中補全頻率分布直方圖,并估計2017年4月1日當日接待游客中30歲以下人數(shù).

(2)完成表格二,并問你能否有97.5%的把握認為在觀花游客中“年齡達到50歲以上”與“性別”相關(guān)?

(3)按分層抽樣(分50歲以上與50以下兩層)抽取被調(diào)查的100位游客中的10人作為幸運游客免費領(lǐng)取龍虎山內(nèi)部景區(qū)門票,再從這10人中選取2人接受電視臺采訪,設(shè)這2人中年齡在50歲以上(含)的人數(shù)為,求的分布列

(表二)

50歲以上

50歲以下

合計

男生

女生

合計

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式: ,其中.)

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