Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)

（I）求證：平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

Answer 1

（I）證明：見(jiàn)解析；（II）（III）點(diǎn)E到平面ACD的距離為

試題分析：（I）欲證AO⊥平面BCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內(nèi)兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；
（II）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，異面直線AB與CD的向量坐標(biāo)，求出兩向量的夾角即可；
（III）求出平面ACD的法向量，點(diǎn)E到平面ACD的距離轉(zhuǎn)化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．
解：（I）證明：連結(jié)OC


在中，由已知可得
而    即
   平面
（II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角
在中，

是直角斜邊AC上的中線，  
（III）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為
   在中，
   而
 點(diǎn)E到平面ACD的距離為
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能對(duì)于空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的研究，既可以運(yùn)用幾何方法來(lái)證明，也可以建立直角坐標(biāo)系，借助于向量來(lái)得到。