Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（1）設(shè)橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（1）中的橢圓C與直線y=kx+1相交于P、Q兩點(diǎn)，求

OP

•

OQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知榀得a²=b²+1，且2b²=a²+1，進(jìn)而求出a²=3，b²=2，
（2）將y=kx+1代入橢圓方程消掉y可得關(guān)于x的二次方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理可把

OP

•

OQ

表示為k的函數(shù)，根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)可求得

OP

•

OQ

的取值范圍；

解答：解：（1）∵橢圓的半焦距c=1，
∴a²=b²+1，
又∵a²，b²，c²成等差數(shù)列，
∴2b²=a²+1，
解得a²=3，b²=2，
所以橢圓C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1…（4分）
（2）將y=kx+1代入

x2

3

+

y2

2

=1得，

x2

3

+

(kx+1)2

2

=1
即化簡(jiǎn)得，（3k²+2）x²+6kx-3=0，△＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6k

3k2+2

，x₁x₂=-

3

3k2+2

，…（6分）
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=

-3(k2+1)

3k2+2

-

6k2

3k2+2

+1=

-6k2-1

3k2+2

=-2+

3

3k2+2

…（8分），
由k²≥0，得3k²+2≥2，0＜

3

3k2+2

≤

3

2

，
∴-2＜-2+

3

3k2+2

≤-

1

2

，
∴

OP

•

OQ

的取值范圍是（-2，-

1

2

]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算、橢圓方程的求解，考查橢圓中的不等式，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．