Question

在如圖所示的幾何體中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F(xiàn)是BE的中點，AC=BC=1，
∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：DF⊥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱錐D-BCE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中點M，證明FM平行且等于CD，四邊形FMCD為平行四邊形，可得DF∥CM，從而證明DF∥平面ABC．
（II）由等腰三角形的性質(zhì)可得CM⊥AB，再由CM⊥AE，可得CM⊥面ABE，DF⊥平面ABE．
（III）利用 V_{三棱錐D-BCE} =V   _{三棱錐E-BCD} =V_{三棱錐A-BCD}=

1

3

S△BCD×AC，求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）證明：取AB的中點M，連接FM，CM，
在△ABE中，F(xiàn)，M分別EB，AB的中點，∴FM∥

1

2

AE，且FM=

1

2

AE．
又∵CD∥AE，CD=

1

2

AE，∴FM平行且等于CD，
∴四邊形FMCD為平行四邊形，∴DF∥CM，又∵CM⊆平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（II）證明：∵AC=BC，M為AB的中點，∴CM⊥AB，又AE⊥平面ABC，
CM⊆平面ABC，∴CM⊥AE． 又AE∩AB=A，∴CM⊥面ABE，由（1）得DF∥CM，
∴DF⊥平面ABE．
（III）解：∵CD∥AE，∴V_{三棱錐D-BCE} =V   _{三棱錐E-BCD} =V_{三棱錐A-BCD}，
∴V三棱錐D-BCE=

1

3

S△BCD•AC=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，證明CM⊥面ABE，是解題的
關(guān)鍵．