【題目】如圖四棱錐 中，四邊形 為平行四邊形， 為等邊三角形，AABE是以 為直角的等腰直角三角形，且 .

（1）證明: 平面 平面BCE；
（2）求二面角 的余弦值.

【答案】
（1）解：設(shè)O為BE的中點(diǎn)，連接AO與CO，因?yàn)锳BCE為等邊三角形，AABE是以 為直角的等腰直角三角形，則 .故由二面角的平面角的定義可知 是二面角 的平面角，設(shè) ,則 ，在 中，因?yàn)? ，所以 ，即 ，也即二面角 的平面角為 ，故由面面垂直的定義可知平面 平面BCE.


（2）解：由（1）可知 兩兩互相垂直，設(shè)OE的方向?yàn)閤軸正方向，OE為單位長(zhǎng)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 .則

,所以

.設(shè) 是平面 的法向量，則 ,即 ,所以可取 ,設(shè) 是平面 的法向量，則 ,同理可取 ,則 ,所以二面角 的余弦值為 .


【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線，即可證明 A O ⊥ B E , C O ⊥ B E ，從而找出 ∠ A O C 是二面角 A B E C 的平面角，在 Δ A O C 中借助邊的關(guān)系以及勾股定理可得證 ∠ A O C = 900，即二面角 A B E C 的平面角為 900，故由面面垂直的定義可知平面 A B E ⊥ 平面BCE.(2)由已知根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面ADE和平面DEC的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積才能正確解答此題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求的值；

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；

(2)若關(guān)于的不等式在有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O為AB中點(diǎn)，P，Q分別是AD和CD上的點(diǎn)，且滿足① = ，②直線AQ與BP的交點(diǎn)在橢圓E： + =1（a＞b＞0）上．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)R為橢圓E的右頂點(diǎn)，M為橢圓E第一象限部分上一點(diǎn)，作MN垂直于y軸，垂足為N，求梯形ORMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖動(dòng)直線 與拋物線 交于點(diǎn) ，與橢圓 交于拋物線右側(cè)的點(diǎn) 為拋物線的焦點(diǎn)，則 的最大值為（ ）

A.
B.
C.2
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=﹣f（x），則下列結(jié)論： ①f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱；
②f（x）的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱；
③f（x）是周期函數(shù)，且2個(gè)它的一個(gè)周期；
④f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是單調(diào)函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ． （填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程；

（Ⅱ）已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解．

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）證明：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對(duì)的邊，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2 ．
（1）求角A的值；
（2）若a= ，則求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一個(gè)容量為M的樣本數(shù)據(jù)，其頻率分布表如下．

（1）計(jì)算a,b的值;

（2）畫出頻率分布直方圖；

（3）用頻率分布直方圖，求出總體的眾數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值．

頻率分布表

分組

頻數(shù)

頻率

頻率/組距

(10,20]

2

0.10

0.010

(20,30]

3

0.15

0.015

(30,40]

4

0.20

0.020

(40,50]

a

b

0.025

(50,60]

4

0.20

0.020

(60, 70]

2

0.10

0.010

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)A是單位圓O和x軸正半軸的交點(diǎn)，P，Q是圓O上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOP= ，∠AOQ=α，α∈[0， ]．

（1）若Q（ ， ），求cos（α﹣ ）的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（α）=sinα（ ），求f（α）的值域．

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