(1)求證:>c;
(2)求證:-2<b<-1;
(3)當(dāng)c>1,t>0時(shí),求證:++>0.
思路解析:(1)直接證明>c較難,可以考慮反證法;(2)綜合法可以推導(dǎo)出-2<b<-1;(3)構(gòu)造函數(shù)證明++>0比較方便.
證明:(1)∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
∴f(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1、x2.
又∵f(c)=0,∴c是方程f(x)=0的一個(gè)根.
不妨設(shè)x1=c,x2是另一個(gè)根,∴x1x2=.
∴x2=,即f()=0.
假設(shè)<c,則有0<<c.
∵當(dāng)0<x<c時(shí),f(x)>0,∴f()>0.
這與f()=0矛盾.
∴>c.
(2)由(1)得>c.
∵a>0,c>0,∴1>ac>0.
∵、c是ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,∴+c=-.
∴1+ac=-b.∴ac=-1-b.∴1>-1-b>0.∴有-2<b<-1.
(3)∵t>0,∴++>0
t(t+1)a+t(t+2)b+(t+1)(t+2)c>0
(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c>0. ①
設(shè)g(t)=(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c.
∵c>1>0,∴f(1)>0,即a+b+c>0.
又∵-2<b<-1,
∴a+2b+3c=(a+b+c)+(b+2c)>b+2c>b+2>0.
∴二次函數(shù)g(t)的對稱軸t=-<0.
∴g(t)在[0,+∞)上是增函數(shù).
∴t>0時(shí)有g(shù)(t)>g(0)=2c>0.
∴(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c>0成立.
∴++>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ax2+x |
2x2+b |
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a | 2 n+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ax2+x |
2x2+b |
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2 |
a | 2 n+1 |
1 | ||
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1 | ||
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ax2+2 |
b-3x |
5 |
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ax2+bx+1 |
x+c |
2 |
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