已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且f(c)=0,當(dāng)0<x<c時(shí),f(x)>0.

(1)求證:>c;

(2)求證:-2<b<-1;

(3)當(dāng)c>1,t>0時(shí),求證:++>0.

思路解析:(1)直接證明>c較難,可以考慮反證法;(2)綜合法可以推導(dǎo)出-2<b<-1;(3)構(gòu)造函數(shù)證明++>0比較方便.

證明:(1)∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

∴f(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1、x2.

又∵f(c)=0,∴c是方程f(x)=0的一個(gè)根.

不妨設(shè)x1=c,x2是另一個(gè)根,∴x1x2=.

∴x2=,即f()=0.

假設(shè)<c,則有0<<c.

∵當(dāng)0<x<c時(shí),f(x)>0,∴f()>0.

這與f()=0矛盾.

>c.

(2)由(1)得>c.

∵a>0,c>0,∴1>ac>0.

、c是ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,∴+c=-.

∴1+ac=-b.∴ac=-1-b.∴1>-1-b>0.∴有-2<b<-1.

(3)∵t>0,∴++>0

*t(t+1)a+t(t+2)b+(t+1)(t+2)c>0

(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c>0.                                  ①

設(shè)g(t)=(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c.

∵c>1>0,∴f(1)>0,即a+b+c>0.

又∵-2<b<-1,

∴a+2b+3c=(a+b+c)+(b+2c)>b+2c>b+2>0.

∴二次函數(shù)g(t)的對稱軸t=-<0.

∴g(t)在[0,+∞)上是增函數(shù).

∴t>0時(shí)有g(shù)(t)>g(0)=2c>0.

∴(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c>0成立.

++>0.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
為奇函數(shù)(a,b是常數(shù)),且函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1,
1
3
)

(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)定義正數(shù)數(shù)列{an},a1=
1
2
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)
,求數(shù)列{an2}的通項(xiàng)公式;
(3)已知b&n=
a
2
n
a
2
n+1
2n-2
,設(shè)Sn為bn的前n項(xiàng)和,證明:
1
6
Sn
1
2

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ax2+x
2x2+b
(a,b為常數(shù))為奇函數(shù),且過點(diǎn)(1,
1
3
)

(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)定義正數(shù)數(shù)列{an},a1=
1
2
,
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)
,證明:數(shù)列{
1
a
2
n
-2}
是等比數(shù)列;
(3)令bn=
1
a
2
n
-2,Sn為{bn}
的前n項(xiàng)和,求使Sn
31
8
成立的最小n值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
ax2+2
b-3x
是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),f(2)=-
5
3

(1)求a,b的值;
(2)請用函數(shù)單調(diào)性的定義說明:f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性;
(3)求f(x)的值域.

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已知f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a>0)
是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)有最小值2
2
,求f(x)的表達(dá)式.

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