已知f(x)=
ax2+2
b-3x
是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f(2)=-
5
3
．
（1）求a，b的值；
（2）請用函數(shù)單調(diào)性的定義說明：f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求f（x）的值域．
分析：（1）由f（-x）=-f（x）可求b，f(2)=-
5
3
，可求a；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義任取1＜x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），判斷符號；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可求得f（x）的值域．
解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，由f(2)=-
5
3
得a=2…..（4分）
（2）f(x)=-
2
3
(x+
1
x
)在（1，+∞）上為減函數(shù)．
證明：任取1＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=-
2
3
(x1-x2)(1-
1
x1x2
)＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)…（8分）
（3）同理，f（x）在（0，1）遞增∴x＞0時，f(x)≤f(1)=-
4
3
，
又f（x）為奇函數(shù)，∴x＜0時f(x)≥
4
3
，
綜上所述，f（x）的值域為(-∞，-
4
3
]∪[
4
3
，+∞)…（11分）
點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，重點考查學(xué)生理解函數(shù)奇偶性單調(diào)性及靈活應(yīng)用之求值域，解決的方法是特值法與函數(shù)單調(diào)性的定義法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
為奇函數(shù)（a，b是常數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象過點(1，
1
3
)
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，求數(shù)列{an2}的通項公式；
（3）已知b&n=
a
2
n
a
2
n+1
2n-2
，設(shè)Sn為bn的前n項和，證明：
1
6
≤Sn＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
（a，b為常數(shù)）為奇函數(shù)，且過點(1，
1
3
)．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，證明：數(shù)列{
1
a
2
n
-2}是等比數(shù)列；
（3）令bn=
1
a
2
n
-2，Sn為{bn}的前n項和，求使Sn＞
31
8
成立的最小n值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a＞0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）有最小值2
2
，求f（x）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，且f(c)=0,當(dāng)0＜x＜c時，f(x)＞0.

（1）求證：＞c;

（2）求證：-2＜b＜-1;

（3）當(dāng)c＞1,t＞0時，求證：++＞0.

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