已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線.

(Ⅰ)求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程;

(Ⅱ)當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),求直線與拋物線所圍成封閉區(qū)域的面積;

(Ⅲ)設(shè)直線分別交拋物線B,C兩點(diǎn)(均不與A重合),若以線段BC為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,求直線BC的方程.

同下


解析:

(Ⅰ)由于A(2,1)在拋物線上, 所以  ,即.   …….2分

         故所求拋物線的方程為,其準(zhǔn)線方程為.      ………….3分

(Ⅱ)當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),由,可知直線的斜率為1,其傾斜角為,所以直線的傾斜角為,故直線的斜率為,所以的方程為  …….4分

將其代入拋物線的方程得  , 解得  ,    …….5分

所以直線與拋物線所圍成封閉區(qū)域的面積為:

                                             ……………….6分

      ……………….8分

(Ⅲ)不妨設(shè)直線AB的方程為,                                             ……………….9分

      由

      得,                  ……………….10分

      易知該方程有一個(gè)根為2,所以另一個(gè)根為,

      所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為,

      同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為,                           ……………….11分

      所以

,                                   ……………….12分

      線段BC的中點(diǎn)為,因?yàn)橐?i>BC為直徑的圓與準(zhǔn)線相切,

      所以  ,由于,  解得  .     …………….13分

      此時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

      直線BC的斜率為,

      所以,BC的方程為,即.   …….14分

練習(xí)冊系列答案
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已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(3,2),求其標(biāo)準(zhǔn)方程,并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

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(Ⅰ)求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程;

(Ⅱ)當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),求直線與拋物線所圍成封閉區(qū)域的面積;

(Ⅲ)設(shè)直線分別交拋物線B,C兩點(diǎn)(均不與A重合),若以線段BC為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,求直線BC的方程.

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(本小題滿分13分)

已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線.

(1) 求拋物線W的方程及準(zhǔn)線方程;

(2) 當(dāng)直線與拋物線W相切時(shí),求直線的方程;

(3) 設(shè)直線分別交拋物線W于B、C兩點(diǎn)(均不與4重合),若以線段BC為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,求直線BC的方程.

 

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