Question

【題目】（題文）已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓與兩點(diǎn)，，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求弦長(zhǎng)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】

試題分析：圓錐曲線中求范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍．在建立函數(shù)的過(guò)程中要根據(jù)題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時(shí)為了運(yùn)算的方便，在建立關(guān)系的過(guò)程中也可以采用多個(gè)變量，只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可，同時(shí)要特別注意變量的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）由已知：，，

又當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，所以橢圓過(guò)點(diǎn)，

代入橢圓：，

在橢圓中知：,聯(lián)立方程組可得：，

所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)直線斜率為0時(shí),點(diǎn)、分別為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn),

或,不合題意.

所以直線的斜率不能為0.

可設(shè)直線方程為： ，

將直線方程代入橢圓得:

，由韋達(dá)定理可得：

，

將（1）式平方除以（2）式可得：

由已知可知，，

，

所以，

又知，，

，解得：.

，，

.