Question

【題目】已知函數(shù)f （x）=lnx，g（x）=ex．

（1）若函數(shù)φ （x） = f （x）－，求函數(shù)φ （x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)A（x0，f （x0））處的切線．證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

【答案】解：（1）．

（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)恒大于0，從而可得求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求直線l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線方程，再設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，進(jìn)而可得，再證明在區(qū)間上存在且唯一即可．

（1）∵，∴．

∵且，∴．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．

（2）證明:∵，∴，

∴切線的方程為，即，①

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，

∵，∴，∴．

∴直線的方程為，即，②

①-②，得，∴．

下證：在區(qū)間上存在且唯一．

由（1）可知，在區(qū)間上遞增．

又，，

結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說(shuō)明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個(gè)根就是所求的唯一的.故結(jié)論成立．