如圖為橢圓C:的左、右焦點,D,E是橢圓的兩個頂點,橢圓的離心率,的面積為.若點在橢圓C上,則點稱為點M的一個“橢圓”,直線與橢圓交于A,B兩點,A,B兩點的“橢圓”分別為P,Q.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)問是否存在過左焦點的直線,使得以PQ為直徑的圓經過坐標原點?若存在,求出該直線的方程;若不存在,請說明理由.
(1);(2)直線方程為或.
解析試題分析:本題主要考查橢圓的標準方程、直線的標準方程、圓的標準方程、韋達定理、向量垂直的充要條件等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問,利用橢圓的離心率和三角形面積公式列出表達式,解方程組,得到基本量a和b的值,從而得到橢圓的方程;第二問,直線l過左焦點,所以討論直線的斜率是否存在,當斜率不存在時,可以直接寫出直線方程,令直線與橢圓聯(lián)立,得到交點坐標,驗證以PQ為直徑的圓不過坐標原點,當斜率存在時,直線與橢圓聯(lián)立,消參,利用韋達定理,證明,解出k的值.
(1)由題意,,即,,即 2分
又得:
∴橢圓的標準方程:. 5分
(2)①當直線的斜率不存在時,直線的方程為
聯(lián)立,解得或,
不妨令,,所以對應的“橢點”坐標,.
而
所以此時以為直徑的圓不過坐標原點. 7分
②當直線的斜率存在時,設直線的方程為
消去得,
設,則這兩點的“橢點”坐標分別為
由根與系數關系得: 9分
若使得以為直徑的圓過坐標原點,則
而,∴
即,即
代入,解得:
所以直線方程為或. 12分
考點:橢圓的標準方程、直線的標準方程、圓的標準方程、韋達定理、向量垂直的充要條件.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,設橢圓動直線與橢圓只有一個公共點,且點在第一象限.
(1)已知直線的斜率為,用表示點的坐標;
(2)若過原點的直線與垂直,證明:點到直線的距離的最大值為.
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(13分)(2011•天津)設橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.點P(a,b)滿足|PF2|=|F1F2|.
(Ⅰ)求橢圓的離心率e;
(Ⅱ)設直線PF2與橢圓相交于A,B兩點,若直線PF2與圓(x+1)2+=16相交于M,N兩點,且|MN|=|AB|,求橢圓的方程.
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已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(2,0)的直線與橢圓相交于兩點,設為橢圓上一點,且滿足(為坐標原點),當< 時,求實數取值范圍.
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設橢圓的左、右焦點分別為,上頂點為A,在x軸負半軸上有一點B,滿足三點的圓與直線相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M,N兩點,線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P(m,0),求實數m的取值范圍.
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如圖,橢圓經過點P(1.),離心率e=,直線l的方程為x=4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)AB是經過右焦點F的任一弦(不經過點P),設直線AB與直線l相交于點M,記PA,PB,PM的斜率分別為.問:是否存在常數λ,使得?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.
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如圖,已知圓,經過橢圓的右焦點F及上頂點B,過圓外一點傾斜角為的直線交橢圓于C,D兩點,
(1)求橢圓的方程;
(2)若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部,求m的取值范圍.
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已知橢圓,為坐標原點,橢圓的右準線與軸的交點是.
(1)點在已知橢圓上,動點滿足,求動點的軌跡方程;
(2)過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點,求的面積的最大值
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