Question

如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15海里/小時(shí)，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā)，朝北偏東θ（tanθ=）的方向作勻速直線航行，速度為10海里/小時(shí)．
（1）求出發(fā)后3小時(shí)兩船相距多少海里？
（2）求兩船出發(fā)后多長時(shí)間距離最近？最近距離為多少海里？
（3）兩船在航行中能否相遇，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）處．則根據(jù)題意可分別表示出x₁和y₁，進(jìn)而根據(jù)由tanθ=可求得cosθ和sinθ的值，進(jìn)而表示出x₂和y₂，令t=3，則P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)可得，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求得PQ的值，即出發(fā)后3小時(shí)兩船相距的距離．
（2）根據(jù)（1）可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求得QP，進(jìn)而根據(jù)t的范圍求得PQ的最小值，進(jìn)而可求得兩船出發(fā)4小時(shí)后距離最近，最近距離為20海里．
（3）根據(jù)（2）可知兩船之間的最近距離為20海里，推斷出兩船不可能相遇．
解答：解：以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）處．
則
由tanθ=可得，
cosθ=，sinθ=，
故
（1）令t=3，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（45，45），（30，20），
|PQ|===5．
即出發(fā)后3小時(shí)兩船相距5海里．
（2）由（1）的解法過程易知：
|PQ|=
=
==≥20，
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)，|PQ|取得最小值20．
即兩船出發(fā)4小時(shí)后距離最近，最近距離為20海里．
（3）由（2）可知，兩船之間的最近距離為20海里，所以兩船在航行中不會(huì)相遇
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形問題的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決的能力．