【題目】已知橢圓：的離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）設(shè)直線過點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)．過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．證明直線過定點(diǎn)．

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由離心率及可求得，得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，．直線：，與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，求出直線方程，再求出與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入可得其為定值，得定點(diǎn)，直線的斜率不存在時(shí)，可直接求出直線方程，也過該定點(diǎn)，從而證得結(jié)論成立．

（1）解：由題意可得，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

不妨設(shè)，，，

此時(shí)，直線的方程為，所以直線過點(diǎn)．

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，．直線：．

由得，

所以，．（*）

直線：，令，得，

所以．（**）

將（*）代入（**）可得．

所以直線過點(diǎn)．

綜上所述，直線過定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；

（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，M是PA上的點(diǎn)，為正三角形，，．

（1）求證：平面平面PAC；

（2）若，平面BPC，求證：點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．

（1）求證：平面．

（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若在處取到極值，求，的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意，都存在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線,的斜率乘積為常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

① 存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；

② 存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；

③ 不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值；

④ 不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值.

其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校從參加某次知識(shí)競(jìng)賽的同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績（單位：分.百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題.

（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

（2）從頻率分布直方圖中，估計(jì)本次考試成績的眾數(shù)和平均數(shù)；

（3）若從第1組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取2人成績之差的絕對(duì)值大于10的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，有下列四個(gè)結(jié)論：

①為偶函數(shù)；②的值域?yàn)?/span>；

③在上單調(diào)遞減；④在上恰有8個(gè)零點(diǎn)，

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四邊形為矩形, ,為的中點(diǎn),將沿折起,得到四棱錐,設(shè)的中點(diǎn)為,在翻折過程中,得到如下有三個(gè)命題:

①平面，且的長度為定值；

②三棱錐的最大體積為；

③在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得.

其中正確命題的序號(hào)為__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

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