Question

【題目】已知f（x）= x3﹣2ax2﹣3x（a∈R）． （Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)于實(shí)數(shù)a的不同取值，試討論y=f（x）在（﹣1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)得，f'（x）=2x2﹣4ax﹣3， ∵f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)為減函數(shù)，
∴f'（x）≤0在x∈（﹣1，1）上恒成立，
結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，
問(wèn)題等價(jià)為： ，即 ，
解得﹣ ≤a≤ ，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣ ， ]，
（Ⅱ）當(dāng)a＜﹣ 時(shí)，f′（﹣1）=4a﹣1＜0，f′（1）=﹣4a﹣1＞0
∴f（x）在（﹣1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，
當(dāng)a＞ 時(shí)，f′（﹣1）=4a﹣1＞0，f′（1）=﹣4a﹣1＜0，
∴f（x）在（﹣1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，
當(dāng)﹣ ≤a≤ 時(shí)，由（Ⅰ）可知在區(qū)間（﹣1，1）上為減函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)．
綜上可知，當(dāng)a＜﹣ 或a＞ 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)﹣ ≤a≤ 時(shí)，在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0
【解析】（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意問(wèn)題等價(jià)為g'（x）≤0在x∈（﹣1，1）上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為： ，解出即可，（Ⅱ）分類(lèi)討論．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出y=f（x）在（﹣1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．