Question

（本小題滿分12分）點(diǎn)為橢圓內(nèi)的一定點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引一直線，與橢圓相交于兩點(diǎn)，且P恰好為弦AB的中點(diǎn)，如圖所示，求弦AB所在的直線方程及弦AB的長(zhǎng)度。

Answer 1

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試題分析：由于A，B兩點(diǎn)是直線與橢圓的交點(diǎn)，故他們應(yīng)滿足橢圓方程，設(shè)出它們的坐標(biāo)，然后根據(jù)它們的中點(diǎn)為M，可將坐標(biāo)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線l的斜率，然后再由點(diǎn)斜式求出直線方程．利用兩點(diǎn)距離公式得到弦的長(zhǎng)度的求解。
解：設(shè)直線與橢圓交于，則…①且…②
②-①得，即，
∴所求直線方程為：，即。
將其代入橢圓方程整理得，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式有
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點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本�方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．