(2012•綿陽三模)某電視臺(tái)有A、B兩種智力闖關(guān)游戲,甲、乙、丙、丁四人參加,其中甲乙兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲A,丙丁兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲B.已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為
1
2
,丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為
2
3

(I )求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率;
(II) 記游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為ξ,求ξ的分布列和期望.
分析:(I)設(shè)“i個(gè)人游戲A闖關(guān)成功”為事件Ai(i=0,1,2),“j個(gè)人游戲B闖關(guān)成功”為事件Bj(j=0,1,2),則“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A1B0+A2B1+A2B0,利用互斥事件概率公式,可求得結(jié)論;
(II)由題設(shè)可知:ξ=0,1,2,3,4,求出相應(yīng)的概率,即可得到ξ的分布列和期望.
解答:解:(I)設(shè)“i個(gè)人游戲A闖關(guān)成功”為事件Ai(i=0,1,2),“j個(gè)人游戲B闖關(guān)成功”為事件Bj(j=0,1,2),
則“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A1B0+A2B1+A2B0
∴P(A1B0+A2B1+A2B0)=P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0)=P(A1)•P(B0)+P(A2)•P(B1)+P(A2)•P(B0
=
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×C
0
2
×(
2
3
)0(
1
3
)2
+
C
2
2
×(
1
2
)
2
×(
1
2
)0
×C
1
2
×(
2
3
)
1
(
1
3
)
1
+
C
2
2
×(
1
2
)
2
×
C
0
2
×(
1
3
)
2
=
7
36

即游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)的概率為
7
36
.…(4分)
(II)由題設(shè)可知:ξ=0,1,2,3,4.
P(ξ=0)=
C
0
2
×(
1
2
)
2
×
C
0
2
×(
1
3
)
2
=
1
36
,P(ξ=1)=
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×C
2
2
×(
1
3
)
2
+
C
0
2
×(
1
2
)
2
×C
1
2
×(
2
3
)
1
(
1
3
)
1
=
1
6

P(ξ=2)=
C
2
2
×(
1
2
)
2
×
C
2
2
×(
1
3
)
2
+
C
2
2
×(
1
3
)
2
×
C
2
2
×(
1
2
)
2
+
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×C
1
2
×(
2
3
)
 
×(
1
3
)
 
=
13
36

P(ξ=3)=
C
2
2
×(
1
2
)
2
×
C
1
2
×
2
3
×
1
3
+
C
2
2
×(
2
3
)
2
×
C
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
3

P(ξ=4)=(
1
2
)2×(
2
3
)2=
1
9

∴ξ的分布列為:
ξ 0 1 2 3 4
P
1
36
1
6
13
36
1
3
1
9
…(10分)
∴Eξ=0×
1
36
+1×
1
6
+2×
13
36
+3×
1
3
+4×
1
9
=
7
3
.        …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查互斥事件的概率公式,考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,確定變量的取值,求出概率是關(guān)鍵.
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