(理)如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.
(1)求異面直線EG與BD所成角的大小;
(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離恰為?若存在,求出線段CQ的長;若不存在,請說明理由.
(文)已知坐標(biāo)平面內(nèi)的一組基向量為,,其中,且向量
(1)當(dāng)都為單位向量時,求;
(2)若向量和向量共線,求向量的夾角.

【答案】分析:(理科)(1)以點A為坐標(biāo)原點,射線AB,AD,AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示,寫出點E(0,0,1)、G(1,2,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0),和向量,的坐標(biāo),利用異面直線EG與BD所成角公式求出異面直線EG與BD所成角大小即可;
(2)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即先假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足條件,設(shè)點Q(x,2,0),平面EFQ的法向量為,再點A到平面EFQ的距離,求出x,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
(文科)(1)由題意,得出都為單位向量.從而求得
(2)由條件,因為向量和向量共線,根據(jù)共線向量的性質(zhì)求得:.最后利用向量的夾角即可求得向量的夾角.
解答:解:(理科)(1)以點A為坐標(biāo)原點,射線AB,AD,AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,點E(0,0,1)、G(1,2,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0),
,
設(shè)異面直線EG與BD所成角為θ=
所以異面直
線EG與BD所成角大小為
(2)假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足條件,設(shè)點Q(x,2,0),平面EFQ的法向量為,
則有得到y(tǒng)=0,z=xx,取x=1,
所以,則,又x>0,解得,
所以點,則
所以在線段CD上存在一點Q滿足條件,且長度為
(文科)解:(1)由題意,當(dāng)x=0時,sinx=0,cosx=1,此時,都為單位向量.

所以
(2)由條件
因為向量和向量共線,
所以
因為,
所以
于是,,
設(shè)向量的夾角為θ
=
即向量的夾角為
點評:考查利用空間向量證明垂直和求夾角和距離問題,以及平行向量與共線向量的判定定理,體現(xiàn) 了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)(理)如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.
(1)求異面直線EG與BD所成角的大;
(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離恰為
4
5
?若存在,求出線段CQ的長;若不存在,請說明理由.
(文)已知坐標(biāo)平面內(nèi)的一組基向量為
e
1
=(1,sinx)
,
e
2
=(0,cosx)
,其中x∈[0,
π
2
)
,且向量
a
=
1
2
e
1
+
3
2
e
2

(1)當(dāng)
e
1
e
2
都為單位向量時,求|
a
|
;
(2)若向量
a
和向量
b
=(1,2)
共線,求向量
e
1
e
2
的夾角.

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(2011•崇明縣二模)(理)如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.
(1)求異面直線EG與BD所成角的大;
(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離恰為
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?若存在,求出線段CQ的長;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年上海市崇明縣高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

(理)如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.
(1)求異面直線EG與BD所成角的大小;
(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離恰為?若存在,求出線段CQ的長;若不存在,請說明理由.

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(理)如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.
(1)求異面直線EG與BD所成角的大;
(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離恰為?若存在,求出線段CQ的長;若不存在,請說明理由.

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