【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當時，若直線是曲線的切線，求的最大值；

（2）設，函數(shù)有兩個不同的零點，求的最大整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù)）

【答案】（1）;（2）.

【解析】

（1）利用導數(shù)的幾何意義可得，因此，利用導數(shù)研究其單調性，即可求出 的最大值，即求出的最大值.

（2）根據(jù)題意，關于的方程有兩個不同的解，設利用導數(shù)得到存在使得.則要使得關于的方程有兩個不同的解，則，當時，設經驗證 有兩個不同的零點，即可證明.

解：（1）設直線與曲線相切于點，

，，.

又因為點在切線上，所以.所以

.因此

設，則

令得，；令得，.

在上單調遞增，在上單調遞減.

的最大值為.則的最大值為.

（2）函數(shù)有兩個不同的零點,

等價于方程有兩個不相等的實根.

設，則等價于方程有兩個不同的解，

即關于的方程有兩個不同的解，設,

則.設，由可知

在上單調遞減，又

存在使得，即，則.

當時，，，函數(shù)單調遞增；當時

，，函數(shù)單調遞減.所以函數(shù)的極大值為

.

要使得關于的方程有兩個不同的解，則.

當時，設，則

可知在上單調遞增，在上單調遞減，

又 p（1）＝0

所以有兩個不同的零點，符合題意，所以的最大整數(shù)值為.

練習冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的極坐標方程為．

（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；

（2）由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．

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【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網絡知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數(shù)據(jù)：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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【題目】從某高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組，第2組，…，第6組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）由頻率分布直方圖估計該校高三年級男生身高的中位數(shù)；

（2）在這50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，則恰有一人身高在內的概率.

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【題目】已知橢圓與拋物線有共同的焦點，且離心率為，設分別是為橢圓的上下頂點

（1）求橢圓的方程；

（2）過點與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點，當弦的中點落在四邊形內（含邊界）時，求直線的斜率的取值范圍.

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【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設備生產同一種產品，為了檢測兩套設備的生產質量情況，隨機從兩套設備生產的大量產品中各抽取了50件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在內，則為合格品，否則為不合格品.現(xiàn)統(tǒng)計得到相關統(tǒng)計情況如下：

甲套設備的樣本的頻率分布直方圖

乙套設備的樣本的頻數(shù)分布表

質量指標值

頻數(shù)

1

6

19

18

5

1

（1）根據(jù)上述所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算產品合格率，并對兩套設備的優(yōu)劣進行比較；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為該企業(yè)生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關.

甲套設備

乙套設備

合計

合格品

不合格品

合計

附：

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

參考公式：，其中

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【題目】已知過點P（4，0）的動直線與拋物線C：交于點A，B，且（點O為坐標原點）.

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