【題目】如圖,A是△BCD所在平面外一點,M、N為△ABC和△ACD重心,BD=6;

(1)求MN的長;
(2)若A、C的位置發(fā)生變化,MN的位置和長度會改變嗎?

【答案】
(1)解:延長AM、AN,分別交BC、CD于點E、F,連結EF.

∵M、N分別是△ABC和△ACD的重心,

∴AE、AF分別為△ABC和△ACD的中線,且 = ,

可得MN∥EF且MN= EF,

∵EF為△BCD的中位線,可得EF= BD,

∴MN= BD=2


(2)解:由(1)可得位置改變,長度不改變.
【解析】(1)利用三角形的重心的性質,可得M、N分別是△ABC與△ACD的中線的一個三等分點,得 = ,由此利用平行線的性質與三角形中位線定理,算出MN與BD的關系,即可得到MN的長.(2)由(1)可得位置改變,長度不改變.
【考點精析】本題主要考查了棱錐的結構特征的相關知識點,需要掌握側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方才能正確解答此題.

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