Question

【題目】已知圓，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．

（1）當(dāng)切線的長度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若的外接圓為圓，試問：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）求線段長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）或（2）圓過定點(diǎn)（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出半徑r=2和圓心M坐標(biāo)（0，4），并可設(shè)P（2b，b），從而由條件便可求出|MP|=＝4，這樣便可求出b的值，即得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）容易求出圓N的圓心坐標(biāo)（b，），及半徑，從而可得出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡后可得到（2x+y-4）b-（x2+y2-4y）=0，從而可建立關(guān)于x，y的方程，解出x，y，便可得出圓N所過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）可寫出圓N和圓M的一般方程，聯(lián)立這兩個(gè)一般方程即可求出相交弦AB的直線方程，進(jìn)而求出圓心M到直線AB的距離，從而求出弦長，顯然可看出時(shí)，AB取最小值，并求出該最小值

試題解析：（1）由題意知，圓的半徑，設(shè)，

∵是圓的一條切線，∴，

∴，解得，

∴或． ………………………4分

(2)設(shè)，∵，

∴經(jīng)過三點(diǎn)的圓以為直徑，

其方程為， ……………………6分

即，

由， ………………………8分

解得或，

∴圓過定點(diǎn)， ………………………10分

（3）因?yàn)閳A方程為，

即，

圓，即，

②-①得：圓方程與圓相交弦所在直線方程為：

， ………………………12分

點(diǎn)到直線的距離，

，…………14分

當(dāng)時(shí)，有最小值． ………………………16分