Question

季節(jié)性服裝當(dāng)季節(jié)即將來臨時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)某服裝開始時(shí)定價(jià)為10元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，5周后開始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售；10周后當(dāng)季節(jié)即將過去時(shí)，平均每周削價(jià)2元，直到16周末，該服裝已不再銷售．
（Ⅰ）試建立價(jià)格P與周次t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）若此服裝每件進(jìn)價(jià)Q與周次t之間的關(guān)系為Q=-0.125（t-8）²+12，t∈[0，16]，t∈N，試問該服裝第幾周每件銷售利潤(rùn)最大？最大值是多少？（注：每件銷售利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）周次為t，對(duì)t進(jìn)行分類研究，根據(jù)題意即可列出價(jià)格P與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）分段由P-Q得到銷售此服裝的利潤(rùn)L與周次t的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性分段求最大值，最后取三段中最大值的最大者即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得，
P=

10-2t，t∈[0，5] 20，      t∈(5，10] 40-2t，t∈(10，16]

；
（Ⅱ）設(shè)銷售此服裝每件的利潤(rùn)為L(zhǎng)（元），
則L=P-Q=

10+2t+0.125(t-8)2-12，t∈[0，5] 20+0.125(t-8)2-12，t∈(5，10] 40-2t+0.125(t-8)2-12，t∈(10，16]

=

0.125t2+6，t∈[0，5] 0.125t2-2t+16，t∈(5，10] 0.125t2-4t+36，t∈(10，16]

，
①當(dāng)0≤t≤5時(shí)且t∈N，函數(shù)L=0.125t²+6在區(qū)間[0，5]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)t=5時(shí)，L_max=9.125；
②當(dāng)5＜t≤10時(shí)且t∈N，函數(shù)L=0.125t²-2t+16在區(qū)間（5，8）上單調(diào)遞減，在（8，10）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)t=6或10時(shí)，L_max=8.5；
③當(dāng)10＜t≤16且t∈N，函數(shù)L=0.125t²-4t+36在區(qū)間（10，16]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)t=11時(shí)，L_max=7.125．
綜合①②③可得，當(dāng)t=5時(shí)，L_max=9.125，
答：第5周時(shí)，每件銷售利潤(rùn)最大為9.125元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．建立的數(shù)學(xué)模型為分段函數(shù)，求解分段函數(shù)的最值問題．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于中檔題．