Question

（2013•綿陽(yáng)一模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t為常數(shù)，t＞0，且t≠1）．
（I）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（II）若數(shù)列{a_n}的公比q=f（t），數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，bn+1=

1

2

f（b_n），求數(shù)列{

1

bn

}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)t=

1

3

，對(duì)（II）中的數(shù)列{a_n}，在數(shù)列{a_n}的任意相鄰兩項(xiàng)a_k與a_k+1之間插入k個(gè)

(-1)k

bk

（k∈N^*）后，得到一個(gè)新的數(shù)列：a₁，

(-1)1

b1

，a₂，

(-1)2

b2

，

(-1)2

b2

，a₃，

(-1)3

b3

，

(-1)3

b3

，

(-1)3

b3

，a₄…，記此數(shù)列為{c_n}．求數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可證得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，

2t

t+1

為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）確定數(shù)列{

1

bn

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求數(shù)列{

1

bn

}的通項(xiàng)公式；
（III）確定數(shù)列{c_n}為：1，-1，

1

2

，2，2，(

1

2

)2，-3，-3，-3，(

1

2

)3，…，再分組求和，即可求得數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)之和．

解答：（Ⅰ）證明：由題設(shè)知（t-1）S₁=2ta₁-t-1，解得a₁=1，
由（t-1）S_n=2ta_n-t-1，得（t-1）S_n+1=2ta_n+1-t-1，
兩式相減得（t-1）a_n+1=2ta_n+1-2ta_n，
∴

an+1

an

=

2t

t+1

（常數(shù)）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，

2t

t+1

為公比的等比數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：∵q=f （t）=

2t

t+1

，b₁=a₁=1，b_n+1=

1

2

f （b_n）=

bn

bn+1

，
∴

1

bn+1

=

bn+1

bn

=

1

bn

+1，
∴數(shù)列{

1

bn

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=n．…（8分）
（III）解：當(dāng)t=

1

3

時(shí)，由（I）知a_n=(

1

2

)n-1，于是數(shù)列{c_n}為：1，-1，

1

2

，2，2，(

1

2

)2，-3，-3，-3，(

1

2

)3，…
設(shè)數(shù)列{a_n}的第k項(xiàng)是數(shù)列{c_n}的第m_k項(xiàng)，即a_k=cmk，
當(dāng)k≥2時(shí)，m_k=k+[1+2+3+…+（k-1）]=

k(k+1)

2

，
∴m₉=

9×10

2

-45．
設(shè)S_n表示數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，則S₄₅=[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)8]+[-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8]．
∵1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)8=

1-( 1 2 )9

1- 1 2

=2-

1

28

，
-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8=-1+2²-3²+4²-5²+6²-7²+8²
=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36．
∴S₄₅=2-

1

28

+36=38-

1

28

．
∴S₅₀=S₄₅+（c₄₆+c₄₇+c₄₈+c₄₉+c₅₀）=38-

1

28

+5×（-1）⁹×9=-7

1

256

．
即數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)之和為-7

1

256

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．