Question

【題目】已知拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2： （a＞0，b＞0）有公共焦點F2 ， 點A是曲線C1 ， C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以雙曲線C2的另一焦點F1為圓心的圓M與直線y= 相切，圓N：（x﹣2）2+y2=1．過點P（1， ）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2 ， 設l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t，問： 是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線 的焦點為F2（2，0），

∴雙曲線C2的焦點為F1（﹣2，0）、F2（2，0），

設A（x0，y0）在拋物線 上，且|AF2|=5，

由拋物線的定義得，x0+2=5，

∴x0=3，∴ ，∴ ，

∴|AF1|= =7，

又∵點A在雙曲線C2上，由雙曲線定義得：

2a=|7﹣5|=2，∴a=1，∴雙曲線C2的方程為：

（2）解： 為定值．下面給出說明．

設圓M的方程為：（x+1）2+y2=r2，

∵圓M與直線y= x相切，

∴圓M的半徑為r= ，

∴圓M：（x+2）2+y2=3．

當直線j1的斜率不存在時不符合題意，

設l1的方程為y﹣ =k（x﹣1），即kx﹣y+ ﹣k=0，

設l2的方程為y﹣ =﹣ （x﹣1），即x+ky﹣ k﹣1=0，

∴點F1到直線l1的距離為 ，

點F2到直線l2的距離為 ，

∴直線l1被圓M截得的弦長：

S=2 =2 ，

直線l2被圓N截得的弦長t=2 =2 ，

∴ =

= = ，

∴ 為定值 ．

【解析】（1）由已知條件推導出雙曲線C2的焦點為F1（﹣2，0）、F2（2，0），且|AF2|=5，|AF1|=7，點A在雙曲線C2上，由此能求出雙曲線C2的方程．（2） 為定值．由已知條件求出設圓M的方程為M：（x+2）2+y2=3，設l1的方程為kx﹣y+ ﹣k=0，設l2的方程為x+ky﹣ k﹣1=0，由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出證明 為定值 ．