Question

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，M、N分別是A₁C₁、BC₁的中點.

（I）求證：BC₁⊥平面A₁B₁C；
（II）求證：MN∥平面A₁ABB₁；
（III）求多面體M—BC₁B₁的體積.

Answer 1

（I）（II）見解析（Ⅲ）

（I）∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，
∴B₁B⊥面A₁B₁C₁.     1分
∴B₁B⊥A₁B₁.
又∵A₁B₁⊥B₁C₁，
∴A₁B₁⊥面BCC­₁B_­1.
∴A₁B₁⊥BC₁，
連結(jié)B₁C，∵矩形BCC₁B₁中，BB₁=CB=2，
∴BC₁⊥B₁C，
∴B₁C⊥平面A₁B₁C.    5分
（II）連結(jié)A₁B，由M、N分別為A₁C₁、BC₁的中點可得，
MN∥A₁B
又∵A₁B₁平面A₁ABB₁，MN平面A₁ABB₁，
∴MN∥平面A₁ABB₁.     10分
（III）取C₁B₁中點H，連結(jié)MH、MB₁、MB，
又∵M是A₁C₁中點，
∴MH∥A₁B₁，
又∵A₁B₁⊥平面BBC₁B₁，
∴MH⊥平面BCC₁B₁，
∴三棱錐M—BC₁B₁以MH為高，△BC₁B₁為底面，
三棱錐M—BC₁B₁的體積     14分