Question

點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），求直線AB的方程．
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，請問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PFA與∠PFB是否總是相等？若是，請給出證明．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用導(dǎo)數(shù)可求得過點(diǎn)A的切線方程為

x1x

4

+

y1y

3

=1，由點(diǎn)P在切線上可得

x1

4

+

2y1

3

=1，同理，

x2

4

+

2y2

3

=1，由此可得AB方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由（1）知，

mx1

4

+

ny1

3

=1，問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角相等，利用向量夾角公式可得結(jié)論；

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
當(dāng)y≥0時(shí)，由

x2

4

+

y2

3

=1得，y=

3(1- x2 4 )

，
則過點(diǎn)A的切線斜率k=y′|x=x1=

- 3 2 x1

2 3(1- x12 4 )

=-

3x1

4y1

，過點(diǎn)A的切線方程為：y-y₁=

-3x1

4y1

(x-x1)，
又

x12

4

+

y12

3

=1，則切線方程可整理為：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
當(dāng)y＜0時(shí)，同理可得切線方程為：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
綜上，過點(diǎn)A的切線方程為：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
∵點(diǎn)P（1，2）在切線上，∴

x1

4

+

2y1

3

=1①，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，y₂），同理可得，

x2

4

+

2y2

3

=1②，
故由①②可得直線AB的方程為

x

4

+

2y

3

=1；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PFA與∠PFB總是相等的，
F（-1，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
則由（1）知，

mx1

4

+

ny1

3

=1，∴ny1=3(1-

mx1

4

)，
∵|AF|=2+

1

2

x1，

FA

•

FP

=（x₁+1，y₁）•（m+1，n）
=（m+1）（x₁+1）+ny₁=（m+1）（x₁+1）+3（1-

mx1

4

）
=

(m+4)(x1+4)

4

，
∴cos∠PFA=

1 4 (m+4)(x1+4)

(2+ 1 2 x1)•| FP |

=

m+4

2| FP |

，
同理，cos∠PFB=

m+4

2| FP |

，
∴cos∠PFA=cos∠PFB，
∴∠PFA=∠PFB．

點(diǎn)評：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．