以下各個關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)定點(diǎn)F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3),動點(diǎn)P(x,y)滿足條件|PF1|+|PF2|=a(a>0),則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓或線段;
②過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線有3條;
③離心率為
1
2
,長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1
;
④若3<k<4,則二次曲線
x2
4-k
+
y2
3-k
=1
的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±1,0).
其中真命題的序號為
②④
②④
(寫出所有真命題的序號)
分析:根據(jù)動點(diǎn)P(x,y)滿足條件|PF1|+|PF2|=a,當(dāng)a<6,動點(diǎn)P的軌跡不存在,當(dāng)a=6,動點(diǎn)P的軌跡為線段,當(dāng)a>6,動點(diǎn)P的軌跡為橢圓,可分析①的真假;
根據(jù)點(diǎn)在拋物線開口外,則與拋物線交點(diǎn)只有一個的直線有3條,點(diǎn)在拋物線上,則與拋物線交點(diǎn)只有一個的直線有2條,點(diǎn)在拋物線開口內(nèi),則與拋物線交點(diǎn)只有一個的直線有1條,可分析②的真假;
根據(jù)離心率為
1
2
,長軸長為8,分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況分別求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可判斷③的真假;
根據(jù)3<k<4,可分析出二次曲線
x2
4-k
+
y2
3-k
=1
的圖象形狀及焦點(diǎn)位置,進(jìn)而判斷④的真假;
解答:解:①中,若a<6,則動點(diǎn)P的軌跡不存在,故①錯誤;
過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線與拋物線相切(共有兩條),或與對稱軸平行(共有一條),共有3條,故②正確;
離心率為
1
2
,長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1
x2
12
+
y2
16
=1
,故③錯誤;
若3<k<4,則二次曲線
x2
4-k
+
y2
3-k
=1
為雙曲線,則c2=(4-k)+(k-3)=1,此時c=1,且焦點(diǎn)在x軸上,故焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±1,0),故④正確
故答案為:②④
點(diǎn)評:本題以命題的真假判斷為載體考查了圓錐曲線的定義,性質(zhì)及方程,熟練掌握圓錐曲線的定義,性質(zhì),標(biāo)準(zhǔn)方程是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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以下各個關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)定點(diǎn)F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3),動點(diǎn)P(x,y)滿足條件|PF1|+|PF2|=a(a>0),則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓或線段;
②過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線有3條;
③離心率為,長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為;
④若3<k<4,則二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±1,0).
其中真命題的序號為    (寫出所有真命題的序號)

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以下各個關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)定點(diǎn)F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3),動點(diǎn)P(x,y)滿足條件|PF1|+|PF2|=a(a>0),則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓或線段;
②過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線有3條;
③離心率為,長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為;
④若3<k<4,則二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±1,0).
其中真命題的序號為    (寫出所有真命題的序號)

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②過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線有3條;
③離心率為,長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為;
④若3<k<4,則二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±1,0).
其中真命題的序號為    (寫出所有真命題的序號)

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②過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線有3條;
③離心率為,長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為;
④若3<k<4,則二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±1,0).
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