已知函數.
(1)求的單調區(qū)間;
(2)當時,判斷和的大小,并說明理由;
(3)求證:當時,關于的方程:在區(qū)間上總有兩個不同的解.
(1)的單調遞增區(qū)間為,,單調遞減區(qū)間為
(2)當時,.
(3)構造函數,然后借助于在區(qū)間、分別存在零點,又由二次函數的單調性可知最多在兩個零點,進而得到結論。
解析試題分析:(1)
當時可解得,或
當時可解得
所以函數的單調遞增區(qū)間為,,
單調遞減區(qū)間為 3分
(2)當時,因為在單調遞增,所以
當時,因為在單減,在單增,所能取得的最小值為,,,,所以當時,.
綜上可知:當時,. 7分
(3)即
考慮函數,
,,
所以在區(qū)間、分別存在零點,又由二次函數的單調性可知:最多存在兩個零點,所以關于的方程:在區(qū)間上總有兩個不同的解 10分
考點:導數的運用
點評:考查了導數在研究函數中的運用,以及利用函數與方程的思想的綜合運用,屬于難度題。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知,,直線與函數、的圖象都相切,且與函數的圖象的切點的橫坐標為.
(Ⅰ)求直線的方程及的值;
(Ⅱ)若(其中是的導函數),求函數的最大值;
(Ⅲ)當時,求證:.
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