Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$是偶函數(shù)，則a=0，b的取值范圍是b∈R．

Answer 1

分析 利用偶函數(shù)的定義建立方程f（-x）=f（x），然后求解a．函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$是偶函數(shù)，所以b≤0．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
即$\frac{-ax+1}{{x}^{2}+b}$=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$，即-ax+1=ax+1，所以a=0．
函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$是偶函數(shù)，所以b∈R．
故答案為0，b∈R．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用主要是通過定義，構(gòu)建一個(gè)條件方程f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），或者是利用函數(shù)奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)來判斷的．