Question

如右圖，A、B、C、D為空間四點．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等邊三角形ADB以AB為軸運動．

(1)當平面ADB⊥平面ABC時，求CD；

(2)當△ADB轉動時，是否總有AB⊥CD?

證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

(1)取AB的中點E，連結DE，CE，

因為ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB.

當平面ADB⊥平面ABC時，

因為平面ADB∩平面ABC＝AB，

所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，

由已知可得DE＝，EC＝1，

在Rt△DEC中，CD＝＝2.

(2)當△ADB以AB為軸轉動時，總有AB⊥CD.

證明：①當D在平面ABC內(nèi)時，因為AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD.

②當D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.

又DE，CE為相交直線，

所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.

綜上所述，總有AB⊥CD.

【解析】略