Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+1+alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，且x₁＜x₂，則f（x₁）的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根x₁，x₂，由判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系求出a的取值范圍；由x₁、x₂的關(guān)系，用x₁把a(bǔ)表示出來，求出f（x₁）的表達(dá)式最小值即可．

解答： 解：由題意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

；
∵f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，解得a＜

1

2

，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=

a

2

＞0
∴0＜a＜

1

2

，x₁=

1- 1-2a

2

，
∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1
∴0＜x₁＜

1

2

，a=2x₁-2x12，
∴f（x₁）=x-2x₁+1（2x₁-2x12）lnx₁．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中0＜t＜

1

2

，
則g′（t）=2（1-2t）lnt．
當(dāng)t∈（0，

1

2

）時(shí)，g′（t）＜0，
∴g（t）在（0，

1

2

）上是減函數(shù)．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1+2ln2

4

，
故f（x₁）=g（x₁）＞

1+2ln2

4

，
故答案為：（

1+2ln2

4

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值與利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍的問題，是容易出錯(cuò)的題目．