Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)對(duì)任意的恒成立時(shí)，求函數(shù)的最大值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得.結(jié)合，可得在上遞減，在上遞增.

（Ⅱ）由對(duì)任意的恒成立 可得.又由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)， ，可得

對(duì) 求導(dǎo)，研究其最值，并求其范圍即可

試題解析：

（Ⅰ）.

因?yàn)?/span>，則時(shí)時(shí)，

∴在上遞減，在上遞增.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，則.

所以對(duì)任意的恒成立 ， .

由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增.

依題意，有，∴

.

∴.

設(shè)，則，

∵，∴，∴在上遞增，

∵， .

因此，存在唯一，使得，

當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞減.

因此在處取得最大值，最大值為

，

設(shè)，則，

∴在上遞減，∴，∴

∴時(shí)的最大值.

反之，任取，下證，

∵在上遞減，在上遞增，且時(shí)，

∴任取，存在唯一的，使得.

∵，∴在上遞減，

∴時(shí)， .

綜上，當(dāng)對(duì)任意的恒成立時(shí)，函數(shù)最大值，最大值的取值范圍為.

注：后半部分的證明是為了說(shuō)明當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)， 能取遍內(nèi)的所有值，從而的最大值能取遍內(nèi)所有的值，防止把的最大值的取值范圍變大.