經(jīng)市場調(diào)查分析,某旅游城市在上月內(nèi)(以30天計算),第t天旅游人數(shù)S(萬人)與時間t滿足:S-4與t成反比,且上月第20天旅游人數(shù)為4.05萬人,又第t天旅游人均消費M(元)與時間t的關(guān)系如圖所示.
(I)求該城市上月的旅游日收益y(萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N)的函數(shù)關(guān)系式;
(II)求y的最小值;
(Ⅲ)問該城市上月內(nèi)哪幾天旅游日收益不低于481萬元?
(注:旅游日收益=日旅游人數(shù)×日旅游人均消費)
分析:(I)由題意可設(shè)S-4=
k
t
,將t=20,S=4.05代入,求出k,根據(jù)圖象求出M,從而根據(jù)旅游日收益=日旅游人數(shù)×日旅游人均消費求出旅游日收益;
(II)當1≤t≤20,t∈N時利用基本不等式進行求最值,當21≤t≤30,t∈N時,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可;
(III)根據(jù)分段函數(shù)的意義可在每一段上建立不等式,解出符合條件的t,問題即可得解.
解答:解:(I)由題意可設(shè)S-4=
k
t
,
將t=20,S=4.05代入,得k=1,所以S=
1
t
+4
.(2分)
由圖象可得M=
100+t  (1≤t≤20,t∈N)
140-t  (21≤t≤30,t∈N).
(4分)
所以旅游日收益y=
(100+t)(
1
t
+4)  (1≤t≤20,t∈N)
(140-t)(
1
t
+4)  (21≤t≤30,t∈N).
=
100
t
+4t+401  (1≤t≤20,t∈N)
140
t
-4t+559  (21≤t≤30,t∈N).

(II)當1≤t≤20,t∈N時,y=
100
t
+4t+401≥2
100
t
•4t
+401=441

當且僅當
100
t
=4t,即t=5
時取到等號.(8分)
當21≤t≤30,t∈N時,因為y′=-
140
t2
-4<0

所以y=
140
t
-4t+559
在21≤t≤30,t∈N是單調(diào)遞減,
所以當t=30時,ymin=443
2
3
.(10分)
綜上可知,上月在第5天旅游日收益的最小值為441元.(11分)
(Ⅲ)當1≤t≤20,t∈N時,由
100
t
+4t+401≥481
,得t2-20t+25≥0,
解得t≥10+5
3
或t≤10-5
3
,所以t=19,20,1.(13分)
當21≤t≤30,t∈N時,由
140
t
-4t+559≥481
,得2t2-39t-70≤0,
解得
39-4
130
4
≤t≤
39+4
130
4
,所以t=21.(15分)
綜上可知,該城市上月第1、19、20、21四個旅游日收益不低于481萬元.(16分)
點評:本題主要考查學(xué)生根據(jù)實際情況選擇函數(shù)類型的能力,以及基本不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用能力.
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(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式;

(注:年利潤=年銷售收入固定成本流動成本)

(2)年產(chǎn)量為多少萬件時,在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?最大利潤是多少?

 

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