Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{2-a}{2}$x²+ax-2lnx（a∈R）
（I）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意a∈（4，6）及任意x₁，x₂∈[1，2]，ma+2ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定函數(shù)的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f （x）的極值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，并分解，利用f′（x）＜0，確定函數(shù)單調(diào)減區(qū)間；f′（x）＞0，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）確定f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，可得f（x）的最大值與最小值，進而利用分離參數(shù)法，可得，從而可求實數(shù)m的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=0時，f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0．
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無極大值；
（Ⅱ）f′（x）=（2-a）x+a-$\frac{2}{x}$=$\frac{（2-a）{x}^{2}+ax-2}{x}$=$\frac{（2-a）（x-\frac{2}{a-2}）（x-1）}{x}$，
∵a＞4，∴$\frac{2}{a-2}$＜1，令f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{2}{a-2}$或x＞1，函數(shù)單調(diào)遞減，
令f′（x）＜0，得$\frac{2}{a-2}$＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)a＞4時，f（x）在 （0，$\frac{2}{a-2}$），（1+∞）單調(diào)遞減，在（$\frac{2}{a-2}$，1）上單調(diào)遞增，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a∈（4，6）時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時，f（x）有最大值，當(dāng)x=2時，f（x）有最小值，
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2）=$\frac{a}{2}$-3+2ln2，
∴ma+2ln2＞$\frac{a}{2}$-3+2ln2，
∵a＞0，
∴m＞$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{a}$，
∵4＜a＜6，
∴-$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{a}$＜0，
∴m≥0
故實數(shù)m的取值范圍[0，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．